TI POLITALA MATDIS 1B

MAKALAH

MATEMATIKA DISKRIT

“PROPOSISI, OPERATOR, DAN TABEL KEBENARAN KALIMAT MAJEMUK, IMPLIKASI , TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, KONTINGENSI, DAN EKUIVALEN”

Oleh :

          NAMA :         RATIH

          NIM     :         1801301068

JURUSAN TEKNIK  INFORMATIKA

POLITEKNIK NEGERI TANAH LAUT

PELAIHARI

2018

KATA PENGANTAR

       Puji syukur kehadiran Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat rahmat-Nya kami bisa menyusun dan menyelesaikan makalah yang berisi tentang “Proporsisi, Operator, Tabel Kebenaran, Kalimat Majemuk, Implikasi , Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi, dan Ekivalen” sebagai tugas kuliah Matematika Diskrit.

      Penulis mengucapkan terimakasih kepada dosen pengampu mata kuliah ini. Penulis juga menyadari bahwa dalam penyusunan mekalah masih terdapat banyak kekuranga dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik serta saran yang membangun guna menyempurnakan makalah ini dan dapat menjadi acuan dalam menyusun makalah-makalah atau tugas selanjutnya.

         Penulis memohon maaf apabila dalam penulisan makalah ini terdapat kesalahan pengetikan dan kekeliruan sehingga membingungkan pembaca dalam memahami maksud penulis.

                                                                                    

 Pelaihari, 14  September 2018

                                                                                                                                                                                  Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.. ii

DAFTAR ISI iii

AFTAR TABEL. v

BAB I PENDAHULUAN.. 1

1.1 Latar Belakang. 1

1.2  Rumus Masalah. 1

1.3  Tujuan dan Manfaat 1

BAB II  PEMBAHASAN.. 2

2.1 PROPOSISI 2

2.1.1 Pengertian proposisi 2

2.1.2 Jenis-jenis Proposisi 2

2.1.3 Bentuk-bentuk Proposisi 3

2.1.4 Contoh Proposisi 3

2.2 OPERATOR.. 3

2.2.1 Pengertian Operator 3

2.2.2 Macam-macam Operator 4

2.2.3 Operator relasi 5

2.2.4 Operator logika. 5

2.3 TABEL KEBENARAN.. 6

2.3.1 Operasi Negasi 6

2.3.2 Operasi Konjungsi 6

2.3.3 Operasi Disjungsi 7

2.3.4 Operasi Implikasi 7

2.3.5 Operasi Bi-implikasi 8

2.4 KALIMAT MAJEMUK.. 9

2.4.1  Pengertian Kalimat Majemuk. 9

2.4.2  Ciri-ciri Kalimat Majemuk. 9

2.4.3  Jenis Kalimat Majemuk dan Contohnya  9

2.5 IMPLIKASI 15

2.6 TAUTOLOGI 17

2.6.1  Pengetian Tautologi 17

2.7 KONTRADIKSI 21

2.7.1 Pengertian Kontradiksi 21

2.8 KONTINGENSI 22

2.8.1  Pengetian Kontingensi 22

2.9 EKUIVALEN.. 23

2.9.1 Pernyataan Majemuk Ekuivalen. 23

2.9.2 Bentuk Logika Yang Ekuivalen. 23

BAB III  PENUTUP. 25

3.1  Kesimpulan. 25

3.2 Saran. 25

DAFTAR PUSTAKA.. 26

DAFTAR TABEL

Tabel 1. 1 Operator aritmatika. 4

Tabel 1. 2 Sisa dari hasil pembagian. 5

Tabel 1. 3 Tabel Kebenaran Operasi Negasi 6

Tabel 1. 4 Tabel Kebenaran Operasi Konjungsi 7

Tabel 1. 5 Tabel Kebenaran Operasi Disjungsi 7

Tabel 1. 6 Tabel Kebenaran Operasi Implikasi 8

Tabel 1. 7 Tabel Kebenaran Operasi Bi-implikasi. 8

            

BAB I
PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang

Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari.Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

1.2  Rumus Masalah

1.      Apa pengertian proposisi dan pengertian operator?

2.      Apa jenis-jenis proposisi?

3.      Bagaimana bentuk-bentuk proposisi?

4.      Apa saja macam-macam proposisi?

5.      Apa saja macam-macam tabel kebenaran?

1.3  Tujuan dan Manfaat

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah mempelajari  proposisi, operator dan tabel kebenaran. Manfaat dari pembuatan makalah ini adalah Mengetahui mengenai proposisi, operator, dan tabel kebenaran.

BAB II
PEMBAHASAN

2.1  PROPOSISI

2.1.1 Pengertian proposisi

Proposisi merupakan satu tutur atau pernyataan yang melukiskan beberapa keadaan yang belum tentu benar atau salah dalam bentuk sebuah kalimat berita. Proposisi dalam istilah yang dipergunakan dalam analisis logika. Keadaan dan peristiwa-peristiwa itu pada umumnya melibatkan pribadi atau orang yang dirujuk oleh ujaran dalam kalimat.

Kebenaran sebuah proposisi berkorespondensi dengan fakta, sebuah proposisi yang salah tidak berkorespondensi dengan fakta. Proposisi terdiri atas empat unsur, dua di antaranya merupakan materi pokok proposisi, sedangkan dua yang lain sebagai hal yang menyertainya. Empat unsur yang dimaksudkan ialah term sebagai subjek, term sebagai predikat, kopula dan kuantor.

2.1.2 Jenis-jenis Proposisi

Secara sederhana dapat dibedakan atas empat macam yaitu sebagai berikut:

a.       Proposisi Universal Afirmatif

Proposisi universal afirmatif ialah pernyataan bersifat umum yang membenarkan adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “semua S ialah P”.

b.      Proposisi Universal Negatif

Proposisi universal negatif ialah pernyataan yang bersifat umum yang mengingkari adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “semua S bukan P”.

c.       Proposisi Partikular Afirmatif

Proposisi partikular afirmatif ialah pernyataan bersifat khsusu yang membenarkan adanya hubungan subjek dengan perdikat, dirumuskan “sebagian S adalah P”.

d.      Proposisi Partikular Negatif

Proposisi partikular negatif adalah pernyataan bersifat khsusu yang mengingkari adanya hubungan subjek dengan predikat, dirumuskan “sebagian S bukan P”.

2.1.3 Bentuk-bentuk Proposisi

Berdasarkan dua jenis proposisi yaitu berdasarkan kualitas (positif dan negatif ) dan berdasarkan kuantitas (umum dan khusus) ditemukan empat macam proposisi yaitu:

1.      Proposisi umum -positif disebut proposisi A.

2.      Proposisi umum-negatif disebut proposisi E.

3.      Proposisi khusus-positif disebut proposisi I.

4.      Proposisi umum-negatif disebut proposisi O

5.    Proposisi umum-positif ialah proposisi yang predikatnya membenarkan keseluruhan    subjek.

2.1.4        Contoh Proposisi

1.      Semarang ialah Ibukota provinsi Jawa Tengah (proposisi yang bernilai benar karena Semarang ialah Ibukota Jawa Tengah).

2.      Sukarno ialah Presiden Pertama Republik Indonesia.

3.      5 + 7 = 10 (proposisi bernilai salah).

4.      x + 5 = 11 (bukan proposisi, karena “x” belum ditentukan).

2.2 OPERATOR

2.2.1 Pengertian Operator

             Operator adalah pengendali operasi yang akan dilakukan pada beberapa operan sehingga membentuk sebuah ekspresi. Secara umum, dalam sebuah ekspresi terdapat sebuah operator yang diapit dua operan. Contohnya pada ekspresi:

x + y

x dan y adalah operan, sedangkan

‘+’ adalah operatornya.

2.2.2 Macam-macam Operator

Terdapat tiga macam operator yang biasa digunakan dalam pemrograman, yaitu:

1.      Operator Aritmatik

Adalah operator yang digunakan untuk melakukan operasi penjumlahan, pengurangan pembagian, dan perkalian atau operator yang digunakan umtuk melakukan perhitungan pada bilangan. Berikut ini merupakan tabel yang berisi macam-macam operator aritmatika yang dapat digunakan pada PHP.

Operasi	Operator
Penambahan	+
Pengurangan	-
Perkalian	*
Pembagian	/
Sisa pembagian	%
Increment	++
decrement	-

Tabel 1. 1 Operator aritmatika

Contoh penggunaan operasi operator diatas:

$x = 100;

$y = 10;

Operasi	Operator	Contoh sintaks	hasil
Penambahan	+	$x + $y	110
Pengurangan	-	$x - $y	90
Perkalian	*	$x * $y	1000
Pembagian	/	$x / $y	10
Sisa pembagian	%	$x % $y	0
Increment	++	$x++	101
decrement	-	$x-	99

Tabel 1. 2 Sisa dari hasil pembagian

Berdasarkan contoh diatas, yang dimaksud dengan sisa pembagian adalah sisa dari hasil pembagian bukan hasil dari pembagian. Pada contoh diatas $x % $y = 0. Hasil ini didapat dari rumus sebagai berikut:

$x – ($y * ($x / $y))

16. Pada contoh diatas 50/10 = 5. Lalu 50 – (10 * 5) = 0

Contoh:

Misalkan nilai variabel $y diganti 6 untuk menghasilkan nilai hasil module division, pertama kita hitung adalah 100/6 = 16,6 tapi kita mengambil nilai bulatnya saja, sehingga nilainya

2.2.3 Operator relasi

       Adalah operator penghubung yang berupa benar atau salah, sesuai dengan teorinya bahwa operator relasi mengeluarkan tipe data Boolean sehingga contoh program diatas mengeluarkan output true atau false.

Contoh:

10>3;// true, kemudian

7<3;// false

2.2.4 Operator logika

Adalah operator yang digunakan untuk menggabungkan dua kalimat sebagai fungsi. Dan dalam kehidupan sehari hari dapat diambil contoh konjungsi magnetic misalnya:

A: Hari ini cuaca mendung

B: Hari ini akan hujan

C: Hari ini cuaca mendung dan hari ini akan hujan

D: Hari ini cuca mendung karena itu hari ini akan hujan

sehingga terbentuk kalimat gabungan. Nilai kebenaran kalimat gabungan ini ditentukan oleh nilai kebenaran dari kalimat-kalimat pembentuknya. Operator logika di sini bertindak.

2.3 TABEL KEBENARAN

2.3.1 Operasi Negasi

Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan

Jika p adalah pernyataan tunggal, maka -p adalah pernyataan majemuk. Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar. Definisi: Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

 

Tabel 1. 3 Tabel Kebenaran Operasi Negasi

Contoh:

p : Jakarta ibukota negara Republik Indonesia

-p : Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia

2.3.2 Operasi Konjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan

Definisi: Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponen-komponennya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

Tabel 1. 4 Tabel Kebenaran Operasi Konjungsi

2.3.3 Operasi Disjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan

Definisi: Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu

komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak kedua-duanya.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb: 

Tabel 1. 5 Tabel Kebenaran Operasi Disjungsi

2.3.4 Operasi Implikasi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika …. maka ….. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan

Definisi: Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan

konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

Tabel 1. 6 Tabel Kebenaran Operasi Implikasi

2.3.5 Operasi Bi-implikasi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai …… jika dan hanya jika …… disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan

Definisi: Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponen-koponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah.

Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb:

 

Tabel 1. 7 Tabel Kebenaran Operasi Bi-implikasi

2.4 KALIMAT MAJEMUK

2.4.1   Pengertian Kalimat Majemuk

Kalimat Majemuk adalah kalimat yang terdiri dari dua atau lebih kalimat tunggal yang dihubungkan oleh kata pengubung atau kata sambung. Karena terdiri dari lebih dari satu kalimat, maka kalimat ini biasanya mempunyai induk kalimat (yang mengandung inti informasi) dan anak kalimat (berfungsi sebagai penunjang), tetapi adapula yang kalimat penyusunnya berkedudukan sama atau sederajat sehingga tidak bisa dikatakan mana yang merupakan induk kalimat dan mana yang merupakan anak kalimat.

2.4.2  Ciri-ciri Kalimat Majemuk

a)    Ada perluasan atau penggabungan dari kalimat inti.

b)    Perluasan atau penggabungan ini menghasilkan pola kalimat baru.

c)    Mempunyai subjek atau predikat yang lebih dari satu.

2.4.3  Jenis Kalimat Majemuk dan Contohnya  :

1. Kalimat Majemuk Setara

a. Pengertian Kalimat Majemuk Setara

Kalimat Majemuk Setara adalah kalimat majemuk yang unsur atau kalimat-kalimat atau klausa penyusunnya mempunyai hubungan sederajat. Artinya kalimat tunggal penyusun kalimat majemuk ini kedudukannya setara.

b. Ciri – Ciri Kalimat Majemuk Setara

1)      Antar unsur penyusunnya memiliki hubungan koordinatif sehingga masing-masing kalimat penyusunnya dapat berdiri sendiri meskipun dipisahkan.

2)      Masing-masing unsur penyusunnya memiliki kedudukan yang sama atau setara.

3)     Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai biasanya adalah “dan”, “lalu”, “sedangkan”, “sebelum”, “ketika”, “setelah”, dll.

        c.  Macam – Macam Kalimat Majemuk Setara

1. Kalimat Majemuk Setara Sejalan

Kalimat majemuk setara sejalan merupakan kalimat majemuk yang penyusunnya sejalan serta tidak berlawanan makna satu dengan yang lain.

Contohnya :

Kalimat Penyusun 1 : Ayah sedang tidur

Kalimat Penyusun 2 : Ibu Sedang Memasak

Kalimat Majemuk : Ayah sedang tidur ketika ibu sedang memasak.

a. Kalimat Majemuk Setara Berlawanan

Kalimat Majemuk Setara Berlawanan merupakan kalimat majemuk dimana kalimat-kalimat penyusunnya menyatakan situasi yang bertolak belakang satu sama lain.

Contohnya :

Kalimat Penyusun 1 : Andi anak yang rajin

Kalimat Penyusun 2 : Adiknya adalah pemalas.

Kalimat Majemuk : Andi anak yang rajin, sedangkan adiknya adalah pemalas.

b. Kalimat Majemuk Setara Sebab Akibat

Sesuai dengan namanya, kalimat majemuk setara sebab akibat adalah jenis kalimat majemuk yang unsur-unsur atau kalimat penyusunnya menjelaskan tentang sebab dan akibat suatu hal.

Contohnya :

Kalimat Penyusun 1 : Kota Bogor diterjang banjir.

Kalimat Penyusun 2 : hujan terus menerus selama beberapa hari belakangan.

Kalimat Majemuk : Kota Bogor diterjang banjir akibat hujan yang terus menerus selama beberapa hari belakangan

2.  Kalimat Majemuk Rapatan

a. Pengertian Kalimat Majemuk Rapatan

Kalimat majemuk rapatan adalah kalimat majemuk yang terdiri dari beberapa kalimat tunggal yang digabungkan menjadi satu. Kalimat-kalimat tunggal tersebut digabungkan dengan hanya menyebutkan bagian yang tidak sama.

b. Ciri – Ciri Kalimat Majemuk Rapatan

a)      Bisa dipisahkan menjadi dua kalimat tunggal atau lebih.

b)      Penggabungan kalimat dilakukan dengan hanya menyebutkan bagian kalimat yang tidak sama.

c)      Dipisahkan dengan tanda koma (,)

d)     Dihubungkan dengan kata sambung (konjungsi) “dan”, “juga”, “serta”, dll.

c. Contoh Kalimat Majemuk Rapatan

Kalimat penyusun 1 : Ibu membeli sayur.

Kalimat penyusun 2 : Ibu membeli telur.

Kalimat penyusun 3 : Ibu membeli beras.

Kalimat penyusun 4 : Ibu membeli ikan.

Kalimat Majemuk : Ibu membeli sayur, telur, beras, dan ikan.

Kalimat Penyusun 1 : Aku mengunjungi Museum Fatahillah.

Kalimat Penyusun 2 : Aku mengunjungi Monumen Jakarta.

Kalimat Majemuk : Aku mengunjungi Museum Fatahillah dan Monumen Jakarta.

3. Kalimat Majemuk Bertingkat

a. Pengertian Kalimat Majemuk Bertingkat

Kalimat Majemuk bertingkat adalah jenis kalimat majemuk yang unsur-unsur atau kalimat penyusunnya berkedudukan tidak setara/sederajat. Artinya salah satu kalimat tunggal penyusun kalimat majemuk bertingkat merupakan induk kalimat (yang mengandung inti informasi) sedangkan kalimat tunggal lainnya berkedudukan sebagai anak kalimat (berfungsi sebagai penunjang).

b. Ciri – Ciri Kalimat Majemuk Bertingkat

1.      Unsur-unsurnya berkedudukan tidak sederajat atau tidak sama, artinya ada yang berkedudukan sebagai induk kalimat, adapula yang berkedudukan sebagai anak kalimat.

2.      Salah satu unsur penyusunnya/anak kalimat tidak dapat berdiri sendiri karena tidak memiliki arti jika dipisahkan dari kalimat majemuk tersebut.

c. Macam – Macam Jenis Kalimat Majemuk Bertingkat

Berdasarkan kepada kata sambung yang dipakai, maka kalimat majemuk dapat dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu :

1. Kalimat Majemuk Hubungan Waktu

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : ketika, saat, waktu itu, sebelum, setelah, dll.

Contohnya :

Andi sedang maka ketika ibu pergi.

Kami akan pergi ke rumah dita setelah shalat magrib.

2. Kalimat Majemuk Hubungan Syarat

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : jika, seandainya, asalkan, apabila, andaikan, dll.

Contohnya :

Saya akan pergi ke pengajian asalkan kamu juga ikut.

Saya akan membantumu jika kamu juga berusaha.

3. Kalimat Majemuk Hubungan Tujuan

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : agar, supaya, biar, dll.

Contohnya :

Saya rajin belajar supaya bisa sukses.

Ibu membelikannya mainan agar ia tidak menangis.

4. Kalimat Majemuk Hubungan Sebab Akibat

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : akibat, karena, sebab, oleh karena, sehingga, makanya, dll.

Dia sangat kurus karena jarang makan.

Ia jatuh sakit akibat tidak diimunisasi.

5. Kalimat Majemuk Hubungan Perbandingan

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : ibarat, seperti, daripada, dengan, sebagaimana, lebih baik, dll.

Contohnya :

Aku lebih baik belajar daripada menonton televisi.

Ia sangat mirip dengan ibunya ketika muda.

6. Kalimat Majemuk Hubungan Cara

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : dengan

Contohnya :

Ia menghidupi keluarganya dengan bekerja sebagai tutor.

Andi pergi ke sekolah dengan sepeda itu.

7. Kalimat Mejemuk Bertentangan dengan Kenyataan.

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : padahal, kenyataannya, dll.

Dia sangat gemuk, padahal jarang makan.

8. Kalimat Majemuk Penjelasan

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : bahwa

Ibu mengatakan bahwa kemarin ayah menyuruh kami untuk membereskan kamar.

Nilai yang bagus menunjukkan bahwa siswa itu adalah anak yang pintar.

9. Kalimat Majemuk Konsensip

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : walaupun, meskipun, biarpun, dll.

Walaupun ia sedang sakit, abdi selalu semangat.

Ia tetap pergi meskipun sedang hujan.

10. Kalimat Majemuk Pengandaian

Kata Sambung (Konjungsi) yang dipakai : seolah-olah, seakan-akan, dll

Dia diam saja seakan-akan tidak terjadi apa-apa.

Ia bersi kap seakan-akan orang yang paling benar.

4.   Kalimat Majemuk Campuran

a. Pengertian Kalimat Majemuk Campuran

Kalimat Majemuk campuran adalah gabungan dari kalimat majemuk setara atau kalimat majemuk rapatan dengan kalimat majemuk bertingkat.

b. Ciri – Ciri

Terdiri dari beberapa kalimat tunggal.

Dihubungkan dengan lebih dari satu kata sambung (konjungsi).

c. Contoh Kalimat Majemuk Campuran

Kalimat Majemuk Setara Penyusun : Ayah sudah pergi ketika aku sampai di rumah.

Kalimat Majemuk Bertingkat Penyusun : Ayah sudah pergi padahal aku tidak terlambat.

Kalimat Majemuk Campuran : Ayah sudah pergi ketika aku sampai di rumah, padahal aku tidak terlambat.

Kalimat Majemuk Rapatan Penyusun : Ibu membeli sayur, telur, dan nasi.

Kalimat Majemuk Bertingkat Penyusun : Ibu segera memasak setelah sampai di rumah.

Kalimat Majemuk Campuran : Ibu membeli sayur, telur, dan nasi kemudian segera memasak setelah sampai di rumah.

2.5  IMPLIKASI

Untuk memahami implikasi, pelajarilah uraian berikut. Misalnya, Elzan berjanji pada Gusrayani, “Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton.

Misalkan sore ini tidak hujan dan Elzan mengajak Gusrayani nonton, Gusrayani tidak akan kecewa karena Elzan memenuhi janjinya. Akan tetapi, jika sore ini hujan dan Elzan tetap mengajak Gusrayani menonton, Gusrayani tentu merasa senang sekali. Jika sore ini hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton, tentunya Gusrayani akan memakluminya. Bagaimana jika sore ini tidak hujan dan Elzan tidak mengajak Gusrayani menonton? Itu akan lain lagi ceritanya. Tentu saja Gusrayani akan kecewa dan menganggap Elzan sebagai pembohong yang tidak menepati janjinya.

Misalkan,   p : Sore tidak hujan.

q : Elzan mengajak Gusrayani menonton.

Pernyataan “jika sore nanti tidak hujan, maka Elzan akan mengajak Gusrayani nonton”. Dapat dinyatakan sebagai “jika p maka q” atau dilambangkan dengan “p   q”. Suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q” disebut implikasi.

Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan  p    q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah; untuk kasus lainnya adalah benar. Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

Terdapat perbedaan antara implikasi dalam keseharian dan implikasi dalam logika matematika. Dalam keseharian, pernyataan hipotesis/anteseden p haruslah memiliki hubungan dengan  pernyataan konklusi/konsekuen q. Misalnya, pada contoh implikasi sebelumnya, “Jika sore nanti tidak hujan maka saya akan mengajakmu nonton”. Terdapat hubungan sebab-akibat. Dalam logika matematika, pernyataan hipotesis/anteseden p tidak harus memiliki hubungan dengan konklusi/konsekuen q. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh dibawah ini.

Contoh:

Tentukanlah nilai kebenaran dari implikasi berikut !

a. Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

b. Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

c. Jika cos 30° = 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Jawab :

a.   Jika 4 + 7 = 10 maka besi adalah benda padat.

Alasan salah, kesimpulan benar. Jadi, implikasi bernilai benar.

b.   Jika 6 + 9 = 15 maka besi adalah benda cair.

Alasan benar, kesimpulan salah. Jadi implikasi bernilai salah.

c.     Jika cos 30°= 0,5 maka 25 adalah bilangan ganjil.

Alasan salah, kesimpulan salah. Jadi, implikasi bernilai benar.

2.6 TAUTOLOGI

2.6.1  Pengetian Tautologi

Tautologi adalah proporsi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh :

Perhatikn argumen berikut:

“Jika Toni pergi kuliah, maka Dini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Dini pergi kuliah. Dengan demkian, jika Toni pergi kuliah atau Siska tidur, maka Dini pergi kuliah.”

Diubah ke variabel proposional:

A. Toni pergi kuliah

B. Dini pergi kuliah

C. Siska tidur

Setelah diubah ke bentuk variabel maka diubah ubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri
dari premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.

1).  A  B            (premis)

2).  C  B            (premis)

3).  (A ˅ C)  B  (kesimpulan)

Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

A	B	C	A B	C	(A ˄(C	A˅C	(A˅C)
B	B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B	B	B
B	S	B	S	S	S	B	S	B
B	S	S	S	B	S	B	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	S	B	S	B
S	S	S	B	B	B	S	B	B

Dari tabel kebenaran diatas menunjukkan bahwa pernyataan majemuk :

((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B adalah semua benar (Tautologi)

Contoh tautologi dengan menggunakan tabel kebenaran:

1.    (p ʌ ~q)  p

Pembahasan:

P	Q	~q	(p ʌ ~q)	(p ʌ ~q)  p
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B B B B

Ini adalah tabel kebenaran yang menunjukkan Tautologi dengan alasan yaitu semua pernyataannya bersifat benar atau True (T). Maka dengan perkataan lain pernyataan majemuk (p ʌ ~q)  p selalu benar.

1.    [(p q) ʌ p] p  q

Pembahasan:

P	Q	(p  q)	(p  q) ʌ p	[(p  q) ʌ p] p  q
B B S S	B S B S	B S B B	B S S S	B B B B

   (1)           (2)            (3)              (4)                   (5)

Berdasarkan tabel diatas pada kolom 5, nilai kebenaran pernyataan majemuk itu adalah BBBB. Dengan perkataan lain, pernyataan majemuk [(p  q) ʌ p] p  q selalu benar.                                                                                              
Pembuktian dengan cara kedua yaitu dengan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum ekuivalensi logika.

Contoh:

1.      (p ʌ q) q

Penyelesaian:

(p ʌ q)  q  ~(p ʌ q) v q

~p v ~q v q

~p v T

T ………….(Tautologi)

  Dari pembuktian diatas telah nampaklah bahwa pernyataan majemuk dari (p ʌ q)  q adalah tautologi karena hasilnya T (true) atau benar.

Pembuktian dengan menggunakan tabel kebenaran dari pernyataan majemuk  (p ʌ q)  q yaitu:

P	Q	(p ʌ q)	(p ʌ q)  q
B B S S	B S B S	B S S S	B B B B

Pada tabel diatas nampaklah bahwa kalimat majemuk (p ʌ q)  q merupakan Tautologi.

1.    q (p v q)

penyelesaian:

q  (p v q)     ~q v (p v q)

~q v (q v p)

T v p

T …………(Tautologi)

2.7  KONTRADIKSI

2.7.1 Pengertian Kontradiksi

Kontradiksi adalah proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi nilai pembentuknya. . Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai F  atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika. Contoh dari kontradiksi:                                                   
1. (A˄ A)

Pembahasan:

A	~A	(Aʌ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A˄ A) selalu salah.

1.  P ʌ (~p ʌ q)

P	Q	~p	(~p ʌ q)	P ʌ (~p ʌ q)
B B S S	B S B S	S S B B	S S B S	S S S S

Pembahasan:

2.8 KONTINGENSI

2.8.1  Pengetian Kontingensi

Kontingensi adalah suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya.

Selain pengertian di atas kontingensi juga merupakan:

1. Proposisi majemuk yang bukan tautologi juga bukan kontradiksi. Contoh: p→(pɅq) dan (pɅq)→r masing-masing bukan tautologi dan kontradiksi.
2. Merupakan bentuk campuran dari nilai benar (B) dan nilai salah (S)

 Contoh :

1. Disjungsi
2. Konjungsi
3. Implikasi
4. Biimplikasi
5. NAND, NOR, XOR

 Contoh pada tabel kebenaran:

P	Q	R	PVQ	(PVQ)→R
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S
S	S	B	B	B
S	S	S	S	B

2.9  EKUIVALEN

2.9.1 Pernyataan Majemuk Ekuivalen

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama . ekuivalen ditulis dengan tanda

Contoh :

B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

B	B	S	S	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	B	S	B	B
S	S	B	B	B	B

2.9.2 Bentuk Logika Yang Ekuivalen

1.  Hukum Komutatif :

1)   p ˄ q ≡ q ˄ p

2)   p ˅ q   q ˅ p

2.    Hukum Asosiatif :

1)   (p ˄ q) ˄ r ≡ p ˄ ( q ˄ r)

2)   (p ˅ q) ˅ r ≡ p ˅ (q ˅ r)

3.    Hukum Distributf :

1)   p ˄ (q ˅ r) ≡ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)

2)   p ˅ (q ˄ r) ≡ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r) 

4.      Hukum de Morgan :

1)   ~(p ˄ q) ≡ ~p ˅ ~q

2)   ~(p ˅ q) ≡ ~p ˄ ~q

3)   ~(p ⟹ q) ≡ p ˄ ~q

4)   p ⟹ q ≡ ~p ˅ q

.

BAB III
PENUTUP

3.1  Kesimpulan        

Manfaat mempelajari MATEMATIKA DISKRIT adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

3.2 Saran

Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari.Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya.Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.    

DAFTAR PUSTAKA

http://nailimufrodah123/2014/12/03/makalah-logika-proposisi.html

http://mandachristanto/2018/08/12/operasi-aritmatika-dan-logika-pada-algoritma.html

https://ilmuhitung.com/2018/09/03/tabel-kebenaran-logika.html