RELASI

1.   Pengertian Relasi

 Relasi adalah hubungan antara satu elemen himpunan dengan elemen himpunan lain. Relasi antara dua buah himpunan disebut relasi biner, yang merupakan himpunan bagian dari A×B, notasinya adalah R ∈ (A×B).

2.   Bentuk Penyajian Relasi

2.1.Diagram Panah

             Misalkan himpunan A = {a, b, c, d} dan himpunan B = {1, 2, 3}. R = {(a,2), (b,1), (b,2), 

       (c,3), (d,3)}. Jika R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, gambar dua buah lingkaran  

       lalu tuliskan elemen-elemen A dan B pada masing-masing lingkaran.

2.2. Tabel

              Misalkan himpunan A = {a, b, c, d} dan himpunan B = {1, 2, 3}. R = {(a,2), (b,1), (b,2),   

       (c,3), (d,3)}. Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom pertama tabel menyatakan   

       daerah asal (himpunan A), sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil (himpunan B).

 

2.3. Matriks

              Misalkan himpunan A = {a, b, c, d} dan himpunan B = {1, 2, 3}. R = {(a,2), (b,1), (b,2),      

        (c,3), (d,3)}. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [Mij]. Daerah asal (himpunan A)

        ditunjuk sebagai baris, sedangkan daerah hasil (himpunan B) ditunjuk sebagai kolom. Jika

        terdapat relasi, nilainya adalah 1, sedangkan jika tidak terdapat relasi, nilainya 0.

3. Relasi Invers

    Jika diberikan relasi R pada himpunan A ke himpunan B, kita bisa mendefinisikan relasi

    baru dari B ke A dengan cara membalik urutan dari setiap pasangan terurut di dalam R.

    Relasi baru tersebut dinamakan inversi dari relasi semula. Misalkan R adalah relasi dari

    himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R-1, adalah relasi

    dari B ke A yang didefinisikan oleh : R-1 = {(b,a) | (a,b) ∈ R }.

    Misalkan himpunan A = {a, b, c, d} dan himpunan B = {1, 2, 3}. R = {(a,2), (b,1), (b,2),

    (c,3), (d,3)}. Maka R-1 = {(2,a), (1,b), (2,b), (3,c), (3,d)}.

4. Komposisi Relasi

    Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari

    himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S , dinotasikan dengan S o R = {(a,c)|a ∈

    A, c ∈ C, dan untuk beberapa b ∈ B, (a,b) ∈ R, dan (b,c) ∈ S. Contoh:

5. Sifat Relasi

5.1. Refleksif, bila (a,a) ∈ R untuk setiap a ∈ A.

       Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

       a. Relasi R = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bersifat refleksif karena

           terdapat elemen yang berbentuk (a,a), yaitu (1,1),(2,2),(3,3) dan (4,4).

       b. Relasi R = {(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4)} tidak bersifat refleksif karena (3,3) ∈ R.

5.2. Simetris, bila untuk (a,b) ∈ R, berlaku (b,a) ∈ R.

       Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

       a. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)} bersifat simetris karena jika (a,b) ∈R

           maka (b,a) ∈R. Disini (1,2)dan(2,1) ∈R begitu juga (2,4) dan (4,2) ∈R

       b. Relasi R {(1,1),(2,3),(2,4),(4,2)} tidak simetris karena (2,3) ∈ R, tetapi (3,2) ∈R.

5.3. Anti simetris, bila untuk (a,b) ∈ R dan (b,a) ∈ R hanya berlaku jika a=b.

       a. Relasi R {(1,1),(2,2),(3,3)} anti simetris karena (1,1) ∈ R dan 1=1 , (2,2) ∈R dan 2=2 ,

           (3,3) ∈ R dan 3=3. Perhatikan bahwa R juga simetris.

       b. Relasi R {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} anti simetris karena (1,1) ∈ R dan 1=1 , dan (2,2) ∈ R

           dan 2=2.

5.4. Transitif, bila untuk (a,b) ∈ R dan (b,c) ∈ R berlaku (a,c) ∈ R.

             Misalkan A={1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

       Relasi R {(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} bersifat transitif. Periksa dengan membuat

       tabel berikut :

6. Partisi

Misalkan S sebuah himpunan tidak hampa. Suatu partisi dari S adalah membagi-bagi S

menjadi himpunan bagian tidak hampa A1, A2, ..., Ak, yang disebut sel, yang masingmasingnya

saling lepas dan gabungan keseluruhannya adalah S sendiri. Ilustrasinya adalah

sebagai berikut:

Contoh:

Pandang S = {1, 2, 3, ..., 8, 9}. Kita dapat membuat partisi dari S yang terdiri atas 5 sel:

A1 = {2}

A2 = {1, 3, 5}

A3 = {4, 7}

A4 = {6}

A5 = {8, 9}.

Pembagian menjadi : A1 = {1, 3, 5, 7}, A2 = {2, 4, 5, 6}, A3 = {8, 9} bukan merupakan

partisi, karena A1 dan A2 tidak saling lepas.

Pembagian A1 = {1, 2, 3, 7}, A2 = {5, 6}, A3 = {4, 9} juga bukan partisi, karena

A1∪A2∪A3 ≠ S.

DAFTAR PUSTAKA

Helen. (2018, 10 11). Retrieved from helen.staff.gunadarma.ac.id