TI POLITALA MATDIS 1B

PENARIK KESIMPULAN, ALJABAR BOLEAN, GERBANG LOGIKA

PENARIK KESIMPULAN

Dalam ilmu logika informatika / logika matematika / matematika diskrit dikenal beberapa cara penarikan kesimpulan, di antaranya:

1.     Modus Ponens
2.     Modus Tollens
3.     Penambahan Dusjungsi
4.     Penyederhanaan Konjungsi
5.     Silogisme Disjungsi
6.     Silogisme Hipotesis
7.     Dilema

Berikut penjelasannya:
1. MODUS PONENS
Modus ponens adalah metode penarikan kesimpulan apabila ada pernyataan "p → q" dan diketahui "p" maka bisa ditarik kesimpulan "q".
    Contoh dalam kalimat:
    p                    : Hari ini hari Senin.
    q                    : Saya belajar Matematika Diskrit.
    p → q            : Jika hari ini hari Senin maka saya belajar Matematika Diskrit.
    p                    : Hari ini hari Senin.
    kesimpulan(q) : Saya belajar Matematika Diskrit.

    Tabel kebenaran modus ponens ((p → q) ʌ p) → q :

tabel 1: tabel kebenaran modus ponens

2. MODUS TOLLENS
Modus tollens adalah metode penarikan kesimpulan apabila ada pernyataan "p → q" dan diketahui "-q" maka bisa ditarik kesimpulan "-p".

    Contoh dalam kalimat:
    p                     : Hari ini hari Senin.
    q                     : Saya belajar Matematika Diskrit.
    p → q             : Jika hari ini hari Senin maka saya belajar Matematika Diskrit.
    -q                    : Saya tidak belajar Matematika Diskrit.
    kesimpulan(-p) : Hari ini bukan hari Senin.

    Tabel kebenaran modus tollens ((p → q) ʌ -q) → -p:

tabel 2: tabel kebenaran modus tollens

3. PENAMBAHAN DISJUNGSI
Penarikan kesimpulan dengan menambahkan disjungsi didasarkan pada fakta yakni jika suatu kalimat dihubungkan dengan "v" maka kalimat itu akan bernilai benar jika sekurang-kurangnya salah satu komponennya bernilai benar.
    Contoh dalam kalimat:
    p : Saya mengambil mata kuliah Logika Matematika.
    q : Saya mengambil mata kuliah Kalkulus.
    kesimpulan (p v q) : Saya mengambil mata kuliah Logika Matematika atau Kalkulus.
Tabel kebenaran penambahan disjungsi (p ʌ q) → (p v q)

tabel 3: tabel kebenaran penambahan disjungsi

4. PENYEDERHANAAN KONJUNGSI
Jika suatu kalimat dihubungkan dengan "ʌ" maka dapat diambil salah satu komponennya secara khusus.
    Contoh dalam kalimat:
    p ʌ q                     : Saya mengambil mata kuliah Logika Matematika dan Kalkulus.
    kesimpulan1(p)      : Saya mengambil mata kuliah Logika Matematika.
    kesimpulan2(q)      : Saya mengambil mata kuliah Kalkulus.

    Tabel kebenaran penyederhanaan konjungsi (p ʌ q) → p atau (p ʌ q) → q

tabel 4: tabel kebenaran penyederhanaan konjungsi

5. SILOGISME DISJUNGSI
Silogisme disjungsi adalah penarikan kesimpulan dimana jika diberikan dua pilihan "p" atau "q" sedangkan "q" tidak dipilih maka kesimpulannya yang dipilih adalah "p".
    Contoh kalimat:
    p v q              : Bulan ini saya akan mudik ke Yogyakarta atau pergi ke Bali.
    - q                  : Bulan ini saya tidak pergi ke Bali.
    kesimpulan(p) : Bulan ini saya mudik ke Yogyakarta.

Tabel kebenaran silogisme disjungsi ((p v q) ʌ -q) → p  atau ((p v q) ʌ -p) → q

tabel 5: tabel kebenaran silogisme disjungsi

6. SILOGISME HIPOTESIS
Silogisme Hipotesis adalah jika diketahui "p → q" dan "q → r" maka kesimpulannya "p → r".
    Contoh kalimat:
    p                            : Saya belajar.
    q                            : Saya bisa mengerjakan soal.
    r                             : Saya lulus ujian.
    p → q                    : Jika saya belajar maka saya akan bisa mengerjakan soal.
    q → r                     : Jika saya bisa mengerjakan soal maka saya lulus ujian.
    kesimpulan (p → r) : Jika saya belajar maka saya lulus ujian.

    Tabel kebenaran silogisme hipotesis (p → q) ʌ (q → r) → (p → r).

tabel 6: tabel kebenaran silogisme hipotesis

7. DILEMA
Dilema adalah penarikan kesimpulan jika diketahui "p v q" dan "p → r" dan "q → r" maka kesimpulannya adalah "r".
    Contoh kalimat:
    p                   : Hari ini Rizki ulang tahun.
    q                   : Kemarin Bambang juara LKS nasional.
    r                    : Saya akan ditraktir makan bakso.
    p v q              :  Hari ini Rizki ulang tahun dan Kemarin Bambang juara LKS nasional.
    p → r            : Jika hari ini Rizki ulang tahun maka saya akan ditraktir makan bakso.
    q → r            : Jika kemarin Bambang juara LKS nasional saya akan ditraktir makan bakso.
    kesimpulan(r) : Saya akan ditraktir makan bakso.

    tabel kebenaran dilema ((p v q) ʌ (p → r) ʌ (q → r)) → r

tabel 7: tabel kebenaran dilema

ALJABAR BOLEAN

Aljabar boolean, adalah sistem aljabar himpunan atau proposisi yang memenuhi aturan-aturan ekivalen logis. 

• Misalkan B dengan operasi + (OR) dan * (AND), atau suatu komplemen, dan dua elemen yang beda 0 dan 1 yang didefinisikan pada himpunan atau proposisi, sehingga a,b dan c merupakan elemen B yang mempunyai sifat-sifat identitas, komutatif, distributif dan komplemen.
• Misalkan F dengan operasi + (OR) dan ● (AND), atau suatu komplemen (‘), dan dua elemen yang beda 0 dan 1 yang didefinisikan pada himpunan atau proposisi, sehingga a,b dan c merupakan elemen B yang mempunyai sifat-sifat identitas, komutatif, distributif dan komplemen.

Fungsi Aljabar Boolean :

Terdapat 2 jenis Teorema dalam Aljabar Boolean :

– Teorema variabel tunggal :

Teorema variable tunggal diperoleh dari hasil penurunan operasi logika dasar OR, AND, dan NOT yang mana teorema itu meliputi teorema 0 dan 1, identitas idempotent, komplemen dan involusi.

– Teorema variabel jamak :

Teorema variable jamak terdiri dari teorema komutatif, distributive, asosiatif, absorsi dan morgan.

Hukum Aljabar Boolean

Dengan menggunakan Hukum Aljabar Boolean ini, kita dapat mengurangi dan menyederhanakan Ekspresi Boolean yang kompleks sehingga dapat mengurangi jumlah Gerbang Logika yang diperlukan dalam sebuah rangkaian Digital Elektronika.

Berikut 6 tipe Hukum yang berkaitan dengan Hukum Aljabar Boolean :

1. Hukum Komutatif (Commutative Law)

Hukum Komutatif menyatakan bahwa penukaran urutan variabel atau sinyal Input tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh :

Perkalian (Gerbang Logika AND)

X.Y = Y.X

Penjumlahan (Gerbang Logika OR)
X+Y = Y+X

Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat menukarkan posisi variabel atau dalam hal ini adalah sinyal Input, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya.

2. Hukum Asosiatif (Associative Law)

Hukum Asosiatif menyatakan bahwa urutan operasi logika tidak akan berpengaruh terhadap Output Rangkaian Logika.

Contoh :

Perkalian (Gerbang Logika AND)
W . (X . Y) = (W . X) . Y

Penjumlahan (Gerbang Logika OR)
W + (X + Y) = (W + X) + Y

Catatan : Pada penjumlahan dan perkalian, kita dapat mengelompokan posisi variabel dalam hal ini adalah urutan operasi logikanya, hasilnya akan tetap sama atau tidak akan mengubah keluarannya. Tidak peduli yang mana dihitung terlebih dahulu, hasilnya tetap akan sama. Tanda kurung hanya sekedar untuk mempermudah mengingat yang mana akan dihitung terlebih dahulu.

3. Hukum Distributif

Hukum Distributif menyatakan bahwa variabel-variabel atau sinyal Input dapat disebarkan tempatnya atau diubah urutan sinyalnya, perubahan tersebut tidak akan mempengaruhi Output Keluarannya.

4. Hukum AND (AND Law)

Disebut dengan Hukum AND karena pada hukum ini menggunakan Operasi Logika AND atau perkalian. Berikut ini contohnya :

5. Hukum OR (OR Law)
Hukum OR menggunakn Operasi Logika OR atau Penjumlahan. Berikut ini adalah Contohnya :

6. Hukum Inversi (Inversion Law)

Hukum Inversi menggunakan Operasi Logika NOT. Hukum Inversi ini menyatakan jika terjadi Inversi ganda (kebalikan 2 kali) maka hasilnya akan kembali ke nilai aslinya.

Jadi, jika suatu Input (masukan) diinversi (dibalik) maka hasilnya akan berlawanan. Namun jika diinversi sekali lagi, hasilnya akan kembali ke semula.

GERBANG LOGIKA

Gerbang Logika adalah rangkaian dengan satu atau lebih dari satu sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal berupa tegangan tinggi atau tegangan rendah. Gerbang Logika atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Logic Gate adalah dasar pembentuk Sistem Elektronika Digital yang berfungsi untuk mengubah satu atau beberapa Input (masukan) menjadi sebuah sinyal Output (Keluaran) Logis. Gerbang Logika beroperasi berdasarkan sistem bilangan biner yaitu bilangan yang hanya memiliki 2 kode simbol yakni 0 dan 1 dengan menggunakan Teori Aljabar Boolean. Dikarenakan analisis gerbang logika dilakukan dengan Aljabar Boolean maka gerbang logika sering juga disebut Rangkaian logika. Rangakaian logika sering kita temukan dalam sirkuit digital yang diimplemetasikan secara elekrtonik dengan menggunakan dioda atau transistor.

1)      Sebuah gerbang logika mempunyai satu terminal output dan satu atau lebih terminal input.

2)      Output-outputnya bisa bernilai HIGH (1) atau LOW (0) tergantung dari level-level digital pada terminal inputnya.

Gerbang Logika yang diterapkan dalam Sistem Elektronika Digital pada dasarnya menggunakan Komponen-komponen Elektronika seperti Integrated Circuit (IC), Dioda, Transistor, Relay, Optik maupun Elemen Mekanikal.

Jenis - jenis Gerbang Logika

Terdapat 7 jenis Gerbang Logika Dasar yang membentuk sebuah Sistem Elektronika Digital, yaitu :

1. Gerbang AND
2. Gerbang OR
3. Gerbang NOT
4. Gerbang NAND
5. Gerbang NOR
6. Gerbang X-OR (Exclusive OR)
7. Gerbang X-NOR (Exlusive NOR)

Dari ke-7 jenis diatas, Gerbang Logika dibagi menjadi 2 :

1. Gerbang Logika Inverter (Pembalik), contohnya Gerbang Logika NOT (NOT Gate)

2. Gerbang Logika Non-Inverter, contohnya Gerbang Logika AND,OR,NAND,NOR,XO,XNOR

DAFTAR PUSTAKA

Nala,S. (2017 September 09). Diakses pada tanggal,10 Oktober 2018.  http://nalasumarna.blogspot.com/2017/09/pengertian-aljabar-boolean-gerbang-logika-penarikan-kesimpulan-dalam logika.html.