HIMPUNAN
1. Pengertian Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas. Benda atau objek dalam himpunan disebut elemen atau anggota himpunan.
Contoh himpunan:
1. Himpunan warna lampu lalu lintas, anggota himpunannya adalah merah, kuning dan hijau
Contoh bukan himpunan:
1. Kumpulan baju baju bagus.
2. Kumpulan makanan enak.
2. Jenis-jenis Himpunan
Adapun beberapa jenis himpunan yaitu sebagai berikut:
1. Himpunan Bagian(subset).
2. Himpunan Kosong.
3. Himpunan Semesta.
4. Himpunan Sama (Equal).
5. Himpunan Lepas.
6. Himpunan Komplemen.
7. Himpunan Ekuivalen(equal set)
1. Himpunan Bagian(Subset)
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.
Syarat :
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
B ⊂ A dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka B ⊂ A
Sebab setiap elemen dalam B merupakan elemen dalam A, tetapi tidak sebaliknya.
Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.
2. Himpunan Kosong(Nullset)
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.
Syarat :
Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan
Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.
Sebab : { 0 } ≠ { }
Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).
3. Himpunan Semesta
Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.4. Himpunan Sama(Equal)
Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B
Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.
Contoh :
A ={ c,d,e} B={ c,d,e } Maka A = B
Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu{c,d,e}.
5. Himpunan Lepas
Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.
Contoh C = {1, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6} Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.
Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama.
6. Himpunan Komplemen (Complement set)
Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi AC . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi AC = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :
AC = {x│x Є U, x Є A}
7. Himpunan Ekuivalen (Equal Set)
Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.
Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,
Contoh :
A = { w,x,y,z }→n (A) = 4
B = { r,s,t,u } →n (B) = 4
Maka n (A) =n (B) →A≈B
Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.
3. Cara Penulisan Himpunan
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1. Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.
Contoh: A = {a, i, u, e, o}
B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}
2. Menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.
Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5
A = bilangan asli kurang dari 5
3. Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.
Contoh Soal :
Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Penyelesaian :
A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6
Dengan menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}
Dengan menulis sifat-sifatnya A = {x | 1 < x < Asli}Î6, x
4. Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn)
Penyajian himpunan dengan diagram Venn ditemukan oleh seorang ahli matematika Inggris bernama John Venn tahun 1881. Himpunan semesta digambarkan dengan segiempat dan himpunan lainnya dengan lingkaran di dalam segiempat tersebut.
4. Operasi Pada Himpunan
Ada beberapa operasi himpunan, yaitu:
1. Gabungan
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Dinotasikan A B Notasi : A B = {x | x Є A atau x Є B}
2. Irisan
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.
Notasi : A B = {x | x Є A dan x Є B}
3. Komplemen
Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan Ac
Notasi : Ac = {x | x Є S dan x Є A}
4. Selisih
Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B
Notasi : A – B = {x | x Є A dan x Є B}
5. Hasil Kali Kartesius ( cartesion Product )
Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B
Secara matematis dituliskan : A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}
5. Hukum Aljabar Himpunan
Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup banyak hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan 11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac , yaitu hukum distributif.
Tabel 2. 1 Hukum Aljabar Himpunan
1. Hukum identitas:
A = A
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
|
3. Hukum komplemen:
A = U
A =
|
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
5. Hukum involusi:
= A
|
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
A (A B) = A
A (A B) = A
|
7. Hukum komutatif:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
|
9. Hukum distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
=
=
|
11. Hukum 0/1
= U
= Æ
|
Terlihat bahwa hukum- hukum yang berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum –hukum logika , dengan operator menggantikan L (dan) , sedangkan operator menggantikan V ( atau ).
6. Mengenal Operasi Himpunan
Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan, gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup.
1. Irisan (Intersection)
Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Gambar 2. 1 diagram ven irisan
|
Contoh irisan :
Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}
Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas), maka A ∩ B = ∅.
2. Gabungan (Union)
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ∪ B ={ x | x ∈ A atau x ∈ B }
Gambar 2. 2 diagram ven gabungan
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Contoh union :
1. Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}
3 . Komplemen (Complement)
Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh :
Ā = { x | x ∈ U dan x ∉ A }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Gambar 2. 3 diagram ven komplemen
|
Contoh komplemen :
1. Misalkan U = { 1, 2, 3, …, 9 },
2. jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 5, 6, 8}
3. jika A= { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9}
Contoh komplemen :
A = himpunan mahasiswa STT Telkom
B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama
C = himpunan mahasiswa angkatan 2004
D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit
E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus
a. Pernyataan
“Semua mahasiswa STT Telkom angkatan 2004 yang membawamotor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
(A ∩ C) ∩ E
b. Pernyataan
“Semua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskrit” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
A ∩ B ∩ D
c. Pernyataan
“Semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
C ∩ (B ∪ E)
4. Selisih (Dfference)
Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B
 |
Contoh selisih :
Jika A = { 1, 2, 3, …, 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅
5. Beda Setangkup
Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda‘⊕‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh :
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh :
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A)
= (A – B) ∪ (B – A)
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
 Gambar 2. 5 beda setangkup |
Contoh beda setangkup :
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut :
· A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)
· (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)
6. Perkalian Kartesian
Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh :
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh :
A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B }
Contoh perkalian kartesian :
Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar
Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar
Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
| A × B| = |A| . |B|
Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu
A × B ≠ B × A
dimana A atau B bukan himpunan kosong. Jika A = ∅ atau B = ∅, maka:
A × B = B × A = ∅
Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut :
1. Hukum identitas:
a. A ∪ ∅ = A
b. A ∩ U = A
2. Hukum null/dominasi:
a. A ∩ ∅ = ∅
b. A ∪ U = U
3. Hukum komplemen:
a. A ∪ A = U
a. A ∩ A = ∅
4. Hukum idempoten:
a. A ∪ A = A
b. A ∩ A = A
5. Hukum involusi:
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
a. A ∪ (A ∩ B) = A
b. A ∩ (A ∪ B) = A
7. Hukum komutatif:
a. A ∪ B = B ∪ A
b. A ∩ B = B ∩ A
8. Hukum asosiatif:
a. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
b. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
9. Hukum distributif:
a. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
b. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
10. Hukum De Morgan:
11. Hukum komplemen:
DAFTAR PUSTAKA
dana, A. (2013, September 02). makalah himpunan dan anggota-anggotanya. Diakses Okteber 08, 2018, dari makalah himpunan dan anggota-anggotanya. http://anggaradana.blogspot.com
Suryana. ( 2017, Maret 22). Pengertian himpunan. Diakses Oktober 08, 2018, dari Pengertian himpunan. http://suryana900.wordpress.com
Tidak ada komentar:
Posting Komentar